主持人：2007年研究生入学考试的大幕已经落下，中国人民大学出版社、中国一考网特别邀请黄先开老师和曹显兵老师为广大网友详细点评2007年考研数学真题和答案。欢迎两位老师。
主持人：首先请黄老师和曹老师点评一下和曹老师点评一下对07年数学考题的整体印象。
黄老师：各位网友大家好，很高兴有这么一个机会给大家通过网上来交流一下我们今年考研数学的一些相关的情况，我先把高等数学这一部分相关内容给大家做一个整体印象的介绍，然后再请曹老师对我们今年的线性代数和概率统计的相关内容给大家做一个介绍。
今年考试完了以后，实际上我们接触到了很多同学，包括我们在网上的同学。很多网友对整个今年试题的整体印象是分两个极端的，一部分同学感觉今年的试题很难，甚至是有史以来最难的，但是也有相当一部分同学认为我们今年的试题是比较简单的。今年我们考研数学这一块题到底是难还是不难，其实难和不难我认为是相对的，对高等数学的这一部分内容来看，我自己的判断应该比去年应该是难一些，特别是在选择题的部分，应该说我们今年选择题高等数学这一部分的这几个题我认为出的还是比较有水平的。那么作为我们考研数学这一块，他为什么要这样出题呢？其实作为整个我们数学这一部分的内容，我们平常授课的时候也好、再辅导书里也谈到了两个方面，一个方面就是要考察大家对基本概念、基本理论、基本方法的掌握情况，那另一方面作为我们这种选拔性的考试，还希望能够考察大家灵活去运用知识的能力，我认为我们今年这样一个考研数学的试题可以说把这样两个方面都比较好的结合起来了，所以就是说复习的确确实实比较扎实，基本概念、基本理论、基本方法掌握的非常好，又能够灵活的去运用相关的知识，那可能我们做起来的时候，感觉这个题不会有多难，但是如果我们再这样两个方面不是很好的、真正的做到，那有可能我们在做题的时候确实会感到有一些难度。因此我们各位网友也好、我们今年考过的同学也好，有这么两个极端的反映其实我认为也是比较正常的。今年我们的考研数学特别是高等数学部分总体上看我认为有这样几个特点：第一，知识的覆盖面比较广。可以说考试大纲要求我们掌握的主要知识点，都在这个试卷里面反映出来了。第二个特点就是计算量大。跟往年比较，我们今年的不管是选择题还是计算题，计算量跟往年作比较应该说要大一些。第三方面，试题的灵活性，特别是几个选择题， 很好地考查了我们灵活应用知识的能力。以上是我们对今年高等数学的一个基本的判断和整体的印象。我想下面我们先请曹老师来讲一下线性代数和一些具体问题跟各位网友做一个具体的分析。
曹老师(中国人民大学出版社考研数学书主编)：各位网友好，非常高兴我和大家分享一下我们07年考试的特点。07年考试给我的一个总的印象应该来说整个试卷的难度比06年有略微的上升，但是对于线性代数和概率统计部分来说，应该说难度差不多、持平。它主要考查的是基本概念、重要的概型，可以说是大家比较熟悉的题型。比方说，独立重复试验、随机变量函数的分布，比方说举。这都是大家在平常复习的时候见的比较多的。但是有的同学做起来感觉不好，那就是因为计算量比往年要大一些。但是同学们开始看到题时，感觉比较容易，做完以后又感觉不是很理想。所以我想，今年的这次考试呢平常复习比较扎实，能够把每个步骤都做到位，那么做这样的题应该来说能够取得比较好的成绩。当然，在线性代数里面，对这个秩的考查，对这个线性方程组的考查，对它的特征值它的特征向量的考查，它是多个知识点综合起来了。如果你只是对单个知识点熟悉了，那么做起来还不是很顺。正如我们所了解到的情况来看，今年的总的线性代数和概率统计难度应该和去年相当、持平。等会儿我在就一些具体的提问做一些分析。
主持人：黄老师、曹老师，很多网友对今年的试题有些争议，现在网上公布的有些答案还是相互矛盾的，请谈谈你们对这些题目的看法。
黄老师：好的。刚才我也说了，有几个题今年出得比较灵活一些。所以，我们在网站上也看到了一些同学对试题有争议，甚至个别给出的答案差别还比较大。我自己认为在今年的高数里头有这样几个题可能是大家比较关心的。在数学一里面，大家比较关心的是第2个小题，也就是求渐近线。这个题数学三数学四也考，当然我们这个数学二也把这个题着重讲一下。对于这个求渐近线，大家知道我们一般地求这个渐近线，第一步，是垂直渐近线，作为一个统一的数学式子来表示的函数，我们这个垂直渐近线，其实就是找这个没有定义点，大家都比较熟悉。第二步，我们要考虑水平渐近线，在很多教材里面也谈到，如果有水平渐近线，那么就没有斜渐近线，或者说我们就不用考虑斜渐近线，可是今年这个题的特点是什么呢，垂直渐近线，一般来讲，大家都不会有问题，关键是水平渐近线，其实在这个地方，我们平常学过也好，还是我们这个辅导书里面也讲到，考虑水平渐近线，首先我们看 X 趋向于无穷大的时候， 对应的函数极限 是不是还存在，那么如果不存在，那么是不是就没有水平渐近线了呢？这个时候我们要区分 x 趋向于负无穷大 x 趋向于正无穷大，来进行讨论。所以说，今年这个题，灵活性就体现在这里。大家可以发现，由于指数函数ex 当x趋向于无穷大的时候是一个典型的极限不存在的情况，平常我们一再强调，遇到这个问题的时候，好，马上我要分 x 趋向于负无穷大 x 趋向于正无穷大来讨论，结果呢， x 趋向于负无穷大的时候，极限是存在的，也就是说在小于零的这一侧，有水平渐近线，那 x 趋向于正无穷大的时候，极限是不存在的，那在这一侧，我们还应该讨论，在这一侧有没有斜渐近线，因此这个题做下来以后，有一条垂直渐近线，在小于零的这一侧有一条水平渐近线，在大于零的这一侧，有一条斜渐近线，因此渐近线有三条，也就是说第四个选择项是我们的正确答案。从这个题也提示我们，做这种题的时候，特别是我们平常在复习这种题的时候，一定要把做题的步骤，做题的思路，遇到什么情况我们应该怎么去讨论，必须是真正的理解了，搞明白了，否则可能做这种题会有些困难。
在数学一里面，从这位网友反映的情况来看，应该说大家争执比较多的是选择题第4小题， 这个题，我们数学二、三、四也都考到这个题，其实对于这个题，如果我们对历年试题比较熟悉，可以发现在01年数学一，考过一道可以说相当类似的题，但是当时这个题，得分率是相当低的，它涉及到我们对于这个概念的理解。在这个题里头，实际上告诉我们极限是存在的，然后要我们进行相关的推理，这种题，在我们辅导书里面，在我们平时授课中，专门把这种题总结出来了，这就是高等数学中的最典型的所谓隐含条件，见到这种条件，马上想到我们可以引出什么样的结论来，有这个基础了，那这个题答案是很明显的，可以找得到的。我刚才说的已经总结归纳出来了，我们可以很轻松地把正确答案找到。如果没有这种基础，那么我们也完全可以用构造反例的方式，来分析和判断，所以在这个题里头，我认为第一个答案和第二个答案，由于分母的极限为零，分子是一个连续函数，所以分子的极限一定是存在的，而且肯定是 零 的，所以第一个和第二个是正确的命题，没有问题。但这个题要我们找的是不正确的命题。这道题出现争执的是第三个和第四个，其实，第三个，如果这个极限是存在的，那么它在这一点的导数值是存在的。第四个，如果说极限是存在的，在这一点的导数值也是存在零的。那么象这种题，我们能够通过一个(一点导数不存在的例子在)X的绝对值，你把它代进去，其实我们也可以轻松的找到第四个实际上是一个不正确的命题。以上是在高等数学一里面争执比较多的两个题。在数学二里面，有的同学也提出了一个有争执的问题，主要就是数学二选择题的第7小题，有的地方是第三个是正确答案，也有的地方是第四个是正确答案。大家知道，我们多元函数的微分学里面，对于这个多元函数的极限、连续、偏导存在、可微，这四个概念里面，它们之间的联系和差别，可以作为一个常识性的知识。这个题，问我们的是，什么时候这个函数在这个点是可微，那我们有一个书上的定理，大家知道，那就是，如果在这一点的一阶偏导数，是一个连续的函数，那它在这点上是可微的，那我们可以发现，第一个和第二个，仅仅是告诉我们，在这一点是连续，告诉我们偏导数是存在的，要推出可微，这个是做不到的，所以这两个大家一般都不会选。问题是三、四两个选项，而之所以有部分同学认为第四个是正确答案，是因为把第四个的这两个条件理解成了偏导数在这点是连续的，其实大家仔细看一下第四个答案就会发现，它的这个极限条件是f’对x求偏导，右边是X和0，如果右边是X和Y，那就表明这个偏导数在(0，0)这个点是连续的，但实际上，由于它已经限定了这个 y 是 0 ，所以不能得出偏导函数在(0,0)这个点是连续的这个结论。因此第四个也不是 充分条件。而第三个，利用这个条件，我们可以推导出两个极限偏导数都是等于零的，从而按照极限微分的定理，可以证明它这个极限微分在这点是存在的，因此这个是正确答案。还有的涉及线性代数和概率统计的问题，我们请曹老师做一个介绍。
曹老师：好，我下面就线性代数和概率统计里面有疑问的地方做一些介绍。线性代数数学一的第8小题。线性代数对今年所有的考生都是一样的，这个会是一个趋势。这个线性代数第8小题考的是一个相似和合同的关系的判断。这对于我们数学二和数学四的同学来说，是首次考查这方面内容。这是概念性很强的题，对我们来说是很有难度的，但是对于数学一和数学三来说，这个题应该还是比较简单的，大家看，两个矩阵的是否相似的话，要肯定它，对我们来说要困难一些，但是要否定它，那就利用它那些性质有一条不满足它就可以了。这样我们可以看出，这两个矩阵A和B，它们的迹 ，也就是它们的对角线的元素的和是不相等的。我们根据相似的矩阵，它们的积相等，我们马上可以否定A和B是不相似的，但可不可以利用它们的秩不相等来否定呢？如果它们的值不相等，也可以否定它们是相似的，而且可以否定合同(但他们的秩是相等的)。所以说，否定这个相似性是不难的。那么它们到底合不合同呢？大家知道，相似与合同，它们之间没有因果的关系，在逻辑上是没有因果关系的，不要以为，相似的一定是合同的，或者说合同的一定是相似的。所以说，不相似的矩阵它们有可能是合同的也有可能是不合同的，那怎么来判断呢，这个时候我们来看，我们教材里面有这么一个结论，我们来对一下:两个矩阵合同的充要条件是它们的秩相等，而且它们的正惯性指数相等，所以这个时候就要求特征值了，对B来说，就是 1，1，0 ，对A来说，就是3，3，0，它们的特征值是不同的，但正的特征值的个数是相同的，也就是说正关系指数是相同的，这样它们就合同，那么这个题的正确答案应该是选B的。
另外是关于统计的题，那就是数学一第9小题，数学三数学四也是第9小题，某人向同一目标独立重复的射击，每次射击命中目标的概率是P，它提出了此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率。这个题不仔细推敲的话，在语意上会引起误解。这个题表达的含义应该是，第2次命中目标是第4次，前3次射击还有一次是命中目标的。所以我个人认为象这样表述的话，这个题可能就简单多了，那就是说，我们做一个独立重复试验，直到把目标命中2次为止，那么做了4次试验，这个可能性是多少？换句话还可以这么说，第2次打中目标，发生在第4次的可能性是多少？那么是第4次打中了目标，前面3次还有1次，那么应该是第三个答案C。这是典型的查考我们的独立重复试验，这是同学们要重点掌握的一个。
主持人：两位老师，能不能对今年的试题再做一下具体的补充？
黄老师：各位网友，我可能还要做一点说明，就是说大家拿到的试题从数学一到数学四，可能从题的顺序上都不是完全一致的，所以你也不要轻易的否定我这个答案的正确性，如果你拿到的试题和我们点评的不完全一样，可能会有些偏差。后面我们有一个完整的试题介绍，所以我们点评的话，也是在这样一个试题的基础上来做点评的，如果你拿到这个试题和我们这个是不完全一样的，可能会有一些偏差，那么对今年具体的题，如果我们一个一个去分析也没有那么多的时间，但是在高等数学这一部分，我想有一些题是值得我们仔细去分析和考虑的。为社么这样说呢？因为高等数学这一部分，特别是我自己感觉选择题这一部分，今年的试题还是比较有特点的，比如说我们高等数学选择题的第一题，这个题形式上看我们数学一到数学四都考的好像是一个题，但是我们仔细的去分析这个题，其实我们数学一和数学二、数学三、数学四有一点点差别，这个差别也体现了我们数学一在高等数学这一部分里比数学二、数学三、数学四要求的略微高一些，其实我们数学一选择题的第一题，看到有一个网友说这个题十几分钟还没有把它综合出来，那问题出在什么地方呢？其实在这里四个答案我们要去找他的(根号X)这样一个等价无穷小量，在这四个答案里，可以说第一个、第三个、第四个答案都可以很轻松的找到等价无穷小量，由于这三个和我们需要的(根号X)都不是等价无穷小量，那我们利用排除的方法，马上就可以得到第二个是正确答案，但是如果我们做这个题的时候是把思路放在找第二个的等价无穷小量，当然如果这个题把答案设计在第四个，前面三个我都做出来了，和(根号X)不是等价无穷小量，那很多同学都会想到第四个是正确答案。但是，偏偏这个地方它把它放在第二个，那么第二个我要去找它的等价无穷小量，其实按照我们现在这种已有的知识可能对一部分同学来讲是很有难度的，那要不你就把这个问题变成来是什么呢？来看一下这个函数和(根号X)相除以后，我来求极限，能不能保证这个极限等于一，当然这样去求极限的话，计算量也是比较大的，所以从这里大家可以发现这个正确答案的位置，包括这个题，四个答案里放的顺序不一样，可能对这个题的难易程度影响也是相当大的，这是第一个。那么在我们数学一里，其实值得说的还有选择题的第三个小题，也是我们的第三个题。第三个题由于我们的数学二、数学三、数学四都考这个题，其实这个题的核心问题是定积分的几何意义，平常我们学习的时候，考虑的比较多的被积函数是一个非负的函数，那在这个相应区间上的一个积分，也就是表示曲边梯形的一个面积，但是如果这样一个被积函数是一个异号的函数，不见得是大于零还是小于零，那在这种情况下我们定几分的几何意义涉及到一个符号问题，所以这一点我们在分析的时候是值得注意的，这个题我认为还是出的很不错的，特别是在设计这样一个答案的时候，有一个大F-2，我们考数学二的同学，数学三、数学四实际上还涉及到一个大F-3,也就是我们积分性是从0～-2，那么这里上限比下限小，因此考虑到几何背景的时候大家一定要注意要交换一下上下限，那前面就要出现一个负号，注意到这一点的话，这个题我们还是能够很轻松的利用这个半圆的面积找到我们所需要的正确答案，那么在今年的试题里，象数学一选择题的第五个题，我认为这个题难度还是比较高的，这个题我们考数学二实际上也考了，它涉及到这个数列的收敛性，其实这个数列的收敛性仅仅告诉我们，二阶导函数是大于零的，由这样一个函数引出的数列，要判定它的敛散性，那收敛的敛散性可能让我们想到用定义去判定，转化为函数的极限来分析和讨论，但是在这个地方它是一个抽象的形式，我直接要去证明它是收敛的还是发散的，我认为在实际考试的时候，对相当一部分同学来讲，应该说是都会有难度的，那么遇到这种问题的时候，平时在我们辅导过程中间，在我们讲义里其实我们也都谈到了一种做题的技巧，那就是说你给的是一个一般的函数，二阶导函数是大于零，如果我们是找一个具体的函数，那么二阶导函数也是大于零，满足你这个题的条件，那么我们来看一看我们得到的这个数列敛还是发散的，通过这种据反例、通过排除的方法其实我们也会找到答案的，那么这个题的难度还是比较大的。数学一里第六个题，是涉及到曲线积分，我认为命的也是相当不错的，平常我们做题的时候相比较而言，作为一个抽象的函数去求积分，遇到的比较少一些，其实这个题的核心问题，也就是我们在平时讲课时强调的，只要时线面积分的问题，第一个思想就是要一个线面带到我们这个被减函数里面去，由于条件告诉你 ,所以其实你把这个条件一代进去，其实我们这四个积分还是非常简单的，所以从这些题里我想大家还是可以看出来我们今年的这个题一方面考的我们基本概念、基本理论、基本方法的问题，但是我自己认为也考到了我们如何的灵活去运用知识的一个问题，把这两个方面可以比较好的结合起来了，至于线性代数和概率统计我想请曹老师给大家做一个点评。
曹老师：各位网友，刚才黄老师讲的高等数学微积分里面一些重点难点题做了一个介绍，那么从黄老师做的这个介绍里面大家可以看出，我们今年高等数学题应该是比较难的，比去年难度提高了，那么也使我们数学的整体难度提高了，由于标准的参考答案还没有公布，为了方便网友对照，我和黄老师冒昧对这个试卷做了一个详细的解答，包括填空题和选择题，我们就放在这个附件，同学们可以作为参考，因为数学不看写的东西，可能仅听我们说的话，网友可能听的也不是很明白、很清楚，如果这里面有错误的话，都由我们两个人来负责承担。
下面我讲线性代数和概率统计的题做一个大致的介绍，因为今年线性代数和概率统计的大题我说一下，线性代数考了一个有公共解的问题，这个问题以前是考过的，考的是齐次方程组，两个齐次方程组，那么今年的题是有些变化的，那么就是一个齐次方程组和一个非齐次方程组，但是想到公共解就是这两个方程组共同的解，如果你能马上想到把它们联立起来，得到一个非齐次方程组，那么说，只要这个非齐次方程组有解的话，那就是它们有公共的解，那这个题就好做了，那么一个非齐次方程组有解的充分必要条件就是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么这个题做起来就比较顺利了，这个题把A求出来有2个值，一个是1，一个是2，都能使这个方程组有公共的解，那么A＝1的时候，A=2的时候，一个是有无穷的公共解，一个是有唯一的一个公共解，这的题的命题思路我想还是非常好的，能考察我们方程组这一章的复习情况，详细的解答你们可以看看附件，再一个就是在概率统计的小题里考了一个几何概型，这个几何概型在数学三和数学四来说，加入考试大纲已经有好几年了，但是单独出题今年是首次考，这个题应该说是不难，平常我在讲课当中，也包括我和黄老师主编的由人大出版社出版的这个书里面也一个几乎一摸一样的题，也是(0，1)区间里任取两个数，在这个几何概型的题里面，这个题应该说还是比较简单的，那么对于大题来说的话，那就是考察了二维随机变量，二维随机变量不管哪一年都是考试的重点，那么今年考了两个知识点，一个是计算二维随机变量满足一个不等式的概率，一个是计算二维随机变量函数的分布，对于第一部分来说，计算量不大，考生做起来还是比较顺利的，对于第二部分来说，方法肯定是掌握了的，考察的是你有没有耐性，有没有细心能够把这个题做到最后一步，这个题的计算量稍微的偏大，这是求X+Y的，那么有的同学可能习惯去使用卷积公式来做，实际上这个题用分布函数法做起来，就能比较顺利的把它作出来，分四种情况，有两种情况实际是一看就知道的，就是两种特殊的情况，必然事件的概率和不可能事件的概率，一个等于1，一个等于0。这个分布函数，说明真正要计算的只有两种情况，涉及到幂函数的积分，这个项比较多，计算的时候一定要仔细，另外就是统计的题，统计题是数学一和数学三考的，统计题还是常规的求矩估计，是连续性随机变量，就矩估计的题，那么是大家非常熟悉的，一个参数把数学期望求出来，求期望就是求积分，令它等于样本均值，解方程就可以了，最后就是我们评价标准里面，我一直强调的，最重要的一个就是无偏性，三个标准，无偏性、有效性、一致性，这个一致性统考了二十一年，就只考过一个小题，说明它不是复习的重点，也不是考试的重点，无偏性考察的是期望或者说是随机变量函数的期望，能够达到综合考察不同章节的知识点的目的，那么这个题对这一个无偏性的考察，考察了期望方差的计算，那么这个计算量比以往的计算两要稍微大一点点，那么还有数学四的一个大题，因为数学四不考统计，所以他还考了一个概率的问题，也是考的二维随机变量，这个考的是离散性，那么这个题严格的说有点超纲一样，U和V分别都是X和Y的函数，我们要求的是U和V的联合分布率，这个在考试大纲里虽然没有做明确的要求，但是这个题只要我们理解了什么是离散性随机变量的联合分布律，按照定义还是可以求出来的，而且计算量要比前面的题要少的多，今年线性代数和概率统计的题除了个别计算量偏大的题，都还是比较基本的，同学们把基本概念、基本性质、基本定理搞清楚了，就能够比较顺利的做出来，那么我就说这么多。
主持人：最后请两位老师针对年年考研数学试题的命题趋势，为08年考生讲一讲应该如何安排考研数学复习。
黄老师：很多同学都特别关心，今年好像考的比去年难一点，明年会不会简单一点，其实通过我们这么多年的考试命题以后，我自己认为总的这个趋势，波动是越来越小，因为我们命题的这个核心东西，是考察我们两个层次的问题，一个是考基本概念、基本理论、基本方法，再一个就是考察大家应用知识的能力，所以我认为我们的复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习，对于这个基础层面的问题，我自己还是建议以我们的教材或者以我们比较通用的教材作为标准，比如说我们高等数学，大家可能用的最多是同济大学的这个教材，所以以这种最基础的教材，前面按照考试大纲的要求系统的复习，这是我们复习的第一个方面，但是我们考试里不仅仅是考察我们基本概念、基本理论、基本方法的问题，还涉及到我们灵活用用知识的能力问题，所以这种能力问题是怎么去考的？我想仅仅是依靠教材可能很难把它这种考试命题的特点归纳总结出来，因此我建议要了解考试是怎么考的，所以我们历年考试的真题作为准备去参加研究生考试的同学这是必备的，那么这个真题里，它只是一个题在这里，所以大家选这个真题的时候也应该考虑到能不能通过这个真题的分析帮助我们真正的归纳总结这样一些题型出来，针对每一个问题我们应该如何去分析和讨论在分析讨论过程中间，有没有一些可能的变化情况，这些变化情况到现在为止，考到了哪一些，那一些就是我们下一步复习应该注意的，这样的话每一部分你都能够这样去归纳、总结或通过这种相关的辅导书，帮助你归纳总结出来了，那么我们这个复习就更有针对性。
除了历年真题，我们建议大家一定要去看的就是通过灵活运用知识如何把这种知识归纳总结，其实这就是一般我们辅导的时候，复习讲义里我们来帮助大家做这种事情，所以一般来讲我们都是建议在基础复习的前提条件下，象这种历年考试的真题是应该必备的，还有就是可以针对性的我们这种考研复习、辅导的讲义或者复习指南等等。就是有针对性的用它帮 [1] [2] 下一页
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